二次方程式の解の公式

変数についての実係数の二次方程式　　の解の公式を求めてみよう。よく出てくるのが平方完成を利用する方法であるが、これはあちこちの教科書や参考書に載っているので、ここではちょっと違った方法で求めることにする。昔、中学で習った解の公式のの中身がであるのが、どうしても納得出来なかった記憶がある。結論から言えば、これは　　の右辺の式から導かれるのである。

さあ、やってみよう。

解と係数の関係を覚えているだろうか？　そう、一般的に二次方程式の解は最大限２つしかないとしてよいから、上記の二次方程式の二つの解をとすると、

となることはよいだろう。

さて、　であるから、上記の関係を使って、

これより、二乗をはずせば、

　という式を得ることができる。

さて、この式の一方　　

　と　　の辺々を加えると、

また、辺々を引くと

が得られる。また、先の式のもう一方、

　　と　　

の辺々を加えたり引いたりしても上記と同様の計算によって、同じ結果（とは入れ替わるが）を得ることができる。

したがって、解の公式は

　

としてよい。

逆に、この解が元の二次方程式を満たすことは単純な代入計算で示すことができる。（省略する）

＊この考え方（　・・・対称式等の利用）を発展させて三次方程式、四次方程式の解の公式を導けたら面白いよ。

ガロア理論につながっていく！！

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